等差数列&等比数列知识汇总与典例解析

本部分内容适用于高二、高三同学学习：

等差数列

一通项公式

通项公式：a_n=a₁+(n-1)·d

推论：a_n=a_m+(n-m)·d ，其中a_m表示为第m项

备注：

等差数列的通项，整理后为类似一次函数“a_n=kn+b”形式，其中等差数列的公差d为k。另外凡是一个数列的通项可以写成类似一次函数 “a_n=kn+b”的形式，那么这个数列一定是等差数列。

二求和公式

S_n=na₁+n(n-1)/2，这个公式通常在解答题运用比较多

S_n=n(a₁+a_n)/2，这个公式通常在选择、填空运用比较多

备注：

1.等差数列的前n项和公式，整理后为类似二次函数“S_n=An²+Bn (常数项为0)”形式，其中等差数列的公差d为2A。另外凡是一个数列的通项可以写成类似二次函数“S_n=An²+Bn(常数项为0)”形式，那么这个数列一定是等差数列。

2. 针对等差数列，无论题目中给出何种条件的等式，最终均可以根据公式化成只有a₁跟d两个未知量,从而进行求解。

三等差中项

如果2m=p+q，则2a_m=a_p+a_q

备注：

题目中如果给出三项的和，通常都可求出中间项为多少。例如已知等差数列a₁+a₂+a₃=9，即可知a₂=3，因为a₂是a₁跟a₃的中间项；再如已知等差数列a₁+a₅+a₉=12，即可知a₅=4，因为a₅是a₁跟a₉的中间项

例题：

数列{a_n}是等差数列，已知a₅=3，求S₉=?

解析：

S₉=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉，可以发现a₅是a₁和a₉，a₂和a₈，a₃和a₇，a₄跟a₆的中间项，即2a₅=a₁+a₉，剩下的同理，所以S₉=9a₅=27

变式：

数列{a_n}是等差数列，前3项的和为6，后3项的和为18，S_n=128，求n

备注：

当n为奇数，，其中为S_n的中间项。

例如：n=11 ，S₁₁=11a_{6，a6是S11的中间项。}

_{当n为偶数，}，其中为Sn的中间两项。

例如：n=12，S₁₂=6(a₆+a_{7）， a6和a7是S12的中间两项。}

四等差性质

1.如果{a_n}是等差数列，S_n是数列{a_n}前n项和，那么S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，……也是成等差数列

例题：

已知{a_n}是等差数列，S_n是{a_n}的前n项和，S₆/S₃=3，求S₁₂/S₃=？

解析：

根据上面性质可知，S₃，S₆-S₃，S₉-S₆，S₁₂-S₉也是成等差数列，令S₃=m，则S₆=3m，则这个新的等差数列的首项是m(S₃)，第二项是2m(S₆-S₃)，所以公差d=2m-m=m，即可算出第三项S₉-S₆=3m，又S₆=3m，所以S₉=6m，同理可算出S₁₂=10m，则S₁₂/S₃=10

2.{a_n}和{b_n}是等差数列，S_n跟T_n分别是{a_n}和{b_n}的前n项和，那么

例题：

已知{a_n}和{b_n}是等差数列，S_n跟T_n分别是{a_n}和{b_n}的前n项和，已知，求a₅/b₅=?

解析：

3.如果{a_n}是等差数列，公差为d，每隔k项之后(a_m,a_m+k,a_m+2k,a_m+3k  ……) 也是等差数列，公差为k·d

4.如果{a_n}是等差数列，公差为d，数列总共有2n(偶数)项，奇数项有n个，偶数项有n个，那么，其中a_n跟a_n+1是这个数列（总共有2n项）的中间两项，因为数列的总项数是偶数的，所以才有中间两项，另S_偶-S_奇=nd；如果数列总共2n+1(奇数)项，奇数项有n+1个，偶数项有n个，那么，其中a_n+1是这个数列(总共有2n+1项)的中间项，因为数列的总项数是奇数的，所以中间只有一项。另S_奇-S_偶=a_n+1。

例题：

已知{a_n}是等差数列，当n=25时，奇数项的和与偶数项的和之比是多少

解析：

根据上式可知，如果数列为奇数项，所以，已知2n+1=25，则n=12，则。

变式：已知等差数列{a_n}总共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是多少？

五最值问题

在等差数列{a_n}中，a₁＞0，d＜0，则S_n存在最大值；若a₁＜0，d＞0，则S_n存在最小值

例题：

已知{a_n}是等差数列，a_n=2n-49，当数列{a_n}的前n项和S_n取得最小值时，n=？

解析：

根据an的通项公式可以看出，a₁=-47，d=2，这是一个递增的数列，令a_n=0，即算出n=24.5，又n是正整数，所以当n=24时，a₂₄＜0，当n=25时，a₂₅＞0，则可以得出，前24项均为负的，从第25项开始为正，所以n=24时，S_n最小。

备注：

在求前n项和的最值时，首先要令a_n=0，求出为0的项数。

等比数列

一通项公式

通项公式：a_n=a₁q^n-1

推论：a_n=a_mq^n-m，a_m为第m项

二求和公式

，如果q=1，那么S_n=na₁

备注：

针对等比数列，无论题目中给出何种条件的等式，最终均可以根据公式化成只有a₁跟q两个未知量，从而进行求解。

三等比中项

如果2m=p+q，则a²_m=a_p·a_q

备注：

题目中如果给出三项的积，通常都可求出中间项为多少。例如已知等比数列a₁·a₂·a₃=8，即可知a₂=2，因为a₂是a₁跟a₃的中间项；再如已知等差数列a₁·a₅·a₉=64，即可知a₅=4，因为a₅是a₁跟a₉的中间项

推论：如果m+n=p+q，那么一定有a_m·a_n=a_p·a_q

例题：

已知等比数列{a_n}中，若a₅·a₆=9，求a₁·a₂·a₃……a₁₀=？

解析：

因为5+6=1+10，所以a₅·a₆=a₁·a₁₀，同理还可以得出a₅·a₆=a₂·a₉，a₅·a₆=a₃·a₈，a₅·a₆=a₄·a₇，

因此 a₁·a₂·a₃……a₁₀=9⁵=3¹⁰

四等比性质

1.如果{a_n}是等比数列，S_n是数列{a_n}前n项和，那么S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，……也是成比差数列

例题：

已知等比数列{a_n}，S_n是它的前n项和，S₆/S₃=3，求S₁₂/S₃=？

解析：

根据上面性质可知，S₃，S₆-S₃，S₉-S₆，S₁₂-S₉也是成等比数列，令S₃=m，则S₆=3m，则这个新的等比数列的首项是m(S₃)，第二项是2m(S₆-S₃)，所以公比d=2m/m=2，即可算出第三项S₉-S₆=4m，又S₆=3m，所以S₉=7m，同理可算出S₁₂=15m，则S₁₅/S₃=15

变式：

等比数列{a_n}中，若a₁+a₂=324，a₃+a₄=36，则a₅+a₆=?

2.如果{a_n}是等比数列，公比为q，每隔k项之后( a_m , a_m+k , a_m+2k,  a_m+3k ……)也是等比数列，公差为q^k

例题：

已知{a_n}是等比数列，q=2，a₁·a₂·a₃·a₄……a₂₈·a₂₉·a₃₀=2³⁰，求a₃·a₆·a₉……a₃₀=？

解析：

3.如果{a_n}是等比数列，公比为q，当n为偶数时，；当n为奇数时，。

五增减性

1.当q＞1，a₁＞0，则{a_n}是递增数列

2.当q＞1，a₁＜0，则{a_n}是递减数列

3.当0＜q＜1，a₁＞0，则{a_n}是递减数列

4.当0＜q＜1，a₁＜0，则{a_n}是递增数列

5.当q=1，该数列为常数列

6.当q＜0，该数列为摆动数列

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编 辑 ｜《好老师在线数学》   校 对 ｜小乐  

来 源 ｜转自高中数学王晖 转自邹生书数学                     

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